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奥数妙题巧解:多人接送

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发表于 2016-9-22 22:52:39 | 显示全部楼层 |阅读模式
妙题巧解写了很多期了,今天应一位朋友的要求,写一篇不怎么巧的解法。在行程问题中,有一类题让人特别头痛,就是传说中的多人接送,例题如下:
甲,乙两班学生到离校24千米的飞机场参观,但只有一辆汽车,一次只能乘坐一个班的学生,为了尽快到达飞机场,两个班商定,由甲班先坐车,乙班先步行,同时出发,甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场,汽车则立即返回接在途中步行的乙班学生.如果甲、乙两班学生步行速度相同,都为5千米/时,汽车的速度为35千米/时.请问:汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生,才能使两班学生同时到达飞机场?


这类题目可以用比例解决,我们来看:
11.jpg

解析:
当汽车带着甲班从A走到D时,乙班学生从A走到B,路程比等于速度比为5:35=1:7,然后汽车回去接人,这段路上人和车的路程比还是1:7,BC:CD=1:7,所以AB:BC:CD=4:3:21,因为两班学生走路的速度相同,所以他们坐车的时间也相同,因此AD:AF=28:7=4:1,因此DF=24×1/5=4.8千米处返回。
这是一种常规的解这类题的方法,但是,如果题目发生变化,那么这种解法就没那么轻松了,比如人数增多,或者速度不同,这时候这种简单的比例方法很难处理这类问题,这里提供一种暴力破解方法:

我们假设汽车第一段前进时间为x,返回时间为y,第二次前进时间为z,然后我们列出方程:
汽车:35×(x+z-y)=24  汽车除了返回,其他时间都是前进,而走的总路程是24;
甲班:35x+5(y+z)=24  对于甲班,除了一开始汽车带着的x的时间,其他时间都是以自己的步行速度前进;
乙班:35z+5(x+y)=24  对于乙班,和甲班一样,除了最后z时间,其他时间都是自己步行速度前进;

我们现在得到三个方程,这是一个三元一次方程组,我们知道,这样的方程是必然可以解出的,我们解一下,最后结果是x=z=96/175,DE=24-35x=4.8千米。

然而,似乎这个暴力破解一点好处都没有,并不能简化这个行程题,计算还复杂了很多,那么这个方法有什么用呢?让我们来看看下面这题:   

甲、乙、丙三人从A地出发向B地前进,A、B两地之间的距离为20千米。已知甲步行速度为3千米/时,乙步行速度为6千米/时,丙骑自行车带人速度为18千米/时,不带人速度为20千米/小时。请通过合理安排使得甲、乙、丙在最短时间内同时到达B地,那么至少需要多少分钟?(骑车可以带人,但只能带一人。)


在这个题中,比例关系及其复杂,而且车子的来回速度,两个人的速度都不相同,如果我们继续用比例做会非常麻烦,分析过程就很辛苦。
现在我们用暴力破解试试看:我们假设自行车第一段前进时间为x,返回时间为y,第二次前进时间为z,然后我们同样列出方程:
18(x+z)-20y=20 丙走完全程是前进的路程减去返回的路程
18x+3(y+z)=20  甲除了一开始被丙带着,后面都是以自己的速度前进
18z+6(x+y)=20  同样,丙除了最后一段被自行车带着,其他时间是自己的速度。


我们发现,虽然比例关系复杂了许多,但是在这个题中,我们可以一样用这样一个简单的三元一次方程组来解决,单纯的分析和计算量,对于这种爆破法来说,无论比例关系多么复杂,其实都相差无几,这就是爆破法的优势!


可是如果需要接送三个人怎么办呢?车子返回了两段时间,如果都设成未知数,会有5个,而三个人和一辆车,我们只能列出四个方程,事实上,我们只需要设一个车子返回的总时间即可,因为车子返回的总时间其实所有的人都在自己前进,而车子前进的路程就是其他时间前进的路程减去返回的总路程。


当题目变成这么一个题时:
若干个人,速度分别为V1,V2,V3……Vn,车子载人速度Vm,空车速度Vn,距离为S


那么我们的爆破法一定可以列出n+1个算式
假设车子载第一个人时间为A1,第二个人时间为A2,……第n个人时间为An,车子返回的总时间为A(n+1)
那么我们可以列出方程:
A1×Vm+V1×[(A2+A3+……+An+A(n+1)]=S
A2×Vm+V2×[(A1+A3+……+An+A(n+1)]=S
……
An×Vm+Vn×[(A1+A2+……+An-1+A(n+1)]=S
Vm×(A+A2+……+An)-Vn×A(n+1)=S
一共n+1个方程,n+1个未知数,必然能解出,当然,当未知数变多时,解方程的过程会比较辛苦,但是,相对而言,至少多元一次方程组是一定能解出的,而且爆破法可以完全不考虑任何数值的变化,以不变应万变,反正n个人就是n+1个方程。

这个方法其实很不符合岛主的审美,过于简单粗暴,而且把简单粗暴发挥到了极致,但是我想,多人接送这种难题,在这个爆破法下,可以缩短思考和分析时间,让题目完全变成纯体力活,也算有点价值吧!
因为我提供的是方法,而非具体解题,所以上面的题连答案都没有,希望大家不介意。

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发表于 2016-9-23 18:44:27 | 显示全部楼层
这个题目好难,直接PASS

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大天使

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发表于 2017-3-14 15:56:35 | 显示全部楼层
OH MY GOD
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